Introducción

En las agendas de investigación en educación matemática, sobresale el interés por el estudio de los significados atribuidos a conceptos matemáticos. Siguiendo a Rico, Lupiáñez, Marín y Gómez (2007), el análisis de contenido aporta al desarrollo de capacidades específicas que permiten organizar y priorizar el significado de dichos conceptos; además, insta a mejorar el proceso de aprendizaje de los estudiantes y estimula la reflexión en la labor docente (Marín, 2011). Asimismo, ese análisis analiza un contenido en particular y las relaciones de este con otros contenidos, contribuyendo así a centrarse en los más apropiados, según los objetivos de enseñanza, y a establecer un plan de acción o propuesta didáctica que beneficie tanto el proceso educativo como el aprendizaje significativo.

El significado de un concepto se conoce a partir de los 3 componentes del triángulo semántico, propuestos por Frege (1998): signo, sentido y referencia. En este marco, Rico (1997) aborda el significado de un concepto matemático, desde 3 organizadores del currículo: los sistemas de representación (el signo), que destacan los modos de expresión del concepto y sus propiedades; los modos de uso o fenomenología (el sentido), que comprenden las situaciones y contextos en los cuales se aplica el tópico matemático, y la estructura conceptual (la referencia), que toma en consideración conceptos, propiedades y relaciones entre conceptos (Rico, 2003; Rico y Fernández-Cano, 2013).

El creciente interés por el estudio del conocimiento matemático y didáctico manifestado por los profesores de matemática, más su desempeño como profesionales; las iniciativas de cambio curricular incidentes en los procesos formativos de estos docentes, y, desde una perspectiva matemática particular, la perpetuidad del teorema de Pitágoras en el currículo escolar, en el nivel global, la cual destaca su aporte histórico, así como su riqueza matemática y didáctica, han sido elementos que conducen a cuestiones sobre los significados que los profesores de matemática en formación inicial otorgan a ese teorema. Aunado a esto, ha tomado realce realizar una caracterización de los objetivos y las estrategias que proponen los profesores para la enseñanza y el aprendizaje del teorema, en el marco de su utilización en una diversidad de situaciones y contextos.

En este artículo, se enfoca el teorema de Pitágoras, como relación matemática, por su valor en el ámbito escolar y la matemática misma, y la importancia de sus aplicaciones en otras disciplinas. Este valor radica, además de su presencia en los planes de estudio de matemática y su conexión con una variedad de temas, en que constituye un recurso para incentivar la práctica deductiva de la matemática en el aula. Es un teorema con una valía cultural sobresaliente, cuya exposición pudo haber sido pionera en la historia de la demostración matemática y se ha constituido en la base para la promulgación de otros teoremas geométricos y trigonométricos (Strathern, 2014; Marín, 2011; González, 2008).

Con especificidad, se muestran los resultados de un estudio llevado a cabo para caracterizar los significados que un grupo de profesores de matemáticas, en formación inicial, en Costa Rica, otorgan al teorema de Pitágoras (Castillo, Chaverri-Hernández, Hernández y Vallejos, 2017), acentuando uno de los organizadores del currículo que permiten esta caracterización: los modos de uso de un concepto matemático (Rico, 1997). Es decir, se exponen los resultados vinculados al conocimiento matemático escolar sobre el teorema de Pitágoras, en términos de los fenómenos, entendidos como las situaciones y los contextos que expresan los profesores de matemáticas en formación inicial, al resolver 2 tareas matemáticas.

Antecedentes

El teorema de Pitágoras y su enseñanza han sido objeto de estudio en múltiples investigaciones, en el nivel internacional. A continuación, se destacan algunas de estas indagaciones.

Gavilán y Barroso (2001) resaltan el teorema de Pitágoras desde su importancia y el estudio de su demostración; los autores destacan el descubrimiento de fórmulas que permiten encontrar ternas para que las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo, o de la hipotenusa y del cateto mayor, sean números consecutivos. Su planteamiento coincide con González (2008), quien recalca las diferentes demostraciones del teorema.

Dalcín (2007) establece que, posterior a los procesos de formación en educación secundaria, los estudiantes suelen olvidar el recíproco del teorema de Pitágoras o tienden a confundirlo con dicho teorema. Ruiz (2000) y Sutton (2012) enfatizan distintos aspectos sobre el teorema de Pitágoras que son relevantes para los estudiantes universitarios y cómo ellos comprenden algunos de los conceptos relacionados con este (como variable, pendiente, entre otros). Pinto (2012), mediante un estudio con profesores en formación inicial, identifica algunas dificultades asociadas al significado del teorema, sus fundamentos se basan en un uso inadecuado del lenguaje matemático, al momento de expresar el teorema.

Desde la perspectiva didáctica, Strathern (2014) centra los aportes de los pitagóricos en disciplinas como la astronomía y atribuye al teorema “el salto” de la matemática hacia una estructura de razonamiento deductivo. En la misma línea, De Brito (2010) evidencia la aplicabilidad del teorema de Pitágoras en otras ciencias y su importancia en la resolución de problemas. Garciadiego (2002) acentúa el hecho de que, cuando “se simplifica en didáctica”, puede ocasionarse una serie de conflictos conceptuales y cognitivos en los estudiantes; su tesis la ejemplifica con un análisis de la demostración del teorema, presentada en Los elementos de Euclides. Martínez (2000), Motta y Opazo (2012) plantean que las demostraciones del teorema y su enunciado constituyen un recurso importante para la enseñanza.

Otras investigaciones abordan la enseñanza del teorema de Pitágoras, por ejemplo, realzando la presentación de “actividades cognitivas” para su aprendizaje (Osorio, 2011). Meavilla (1989) afirma que los alumnos desconocen el significado del teorema, puesto que desvinculan la relación pitagórica ( o una particularización de esta) de la relación entre áreas o su ligazón con el triángulo rectángulo. Por su parte, en Costa Rica, Vargas y Gamboa (2013a) reconocen que existe una crisis en la enseñanza de la matemática en educación secundaria, particularmente, subrayan que la geometría es una de las áreas en las que se presentan mayores dificultades.

Aunado a esto, Barreto (2010) destaca deducciones del teorema, a partir de la noción de áreas; esto se propone como un recurso didáctico con base en el cual el estudiante podrá comprender, de mejor manera, la generalización del teorema. Peñafiel y Yun (2008) también consideran la relación entre áreas para exponer el teorema de Pitágoras, con el fin de que los educandos puedan identificar relaciones entre las áreas de figuras construidas sobre los lados de un triángulo rectángulo. Fernández (2015) realiza una propuesta didáctica basada en el teorema, mediante el análisis de libros de texto; el autor plantea varios problemas que destaquen su aplicación en la obtención de longitudes, la construcción de puzles pitagóricos, el uso de las TIC, el cálculo de áreas, problemas que involucran otras figuras planas y aplicaciones en la vida cotidiana; partiendo de su estudio, clasifica estos problemas en aritméticos, algebraicos, geométricos y tecnológicos.

Desde el marco del examen del teorema de Pitágoras, a partir del análisis de contenido matemático, Perry (2000) realiza una propuesta para abordarlo, basado en el análisis didáctico. Marín (2011) y Guardia, Montes, Páez, y Schmidt-Kortenbush (2009) elaboran unidades didácticas para tratar el teorema y distinguen, en el análisis fenomenológico, 3 situaciones referentes a longitudes, áreas y perpendicularidad, en las cuales se agrupan, generalmente, las tareas a las que debían responder los participantes en su estudio. En otras palabras, la clasificación de las situaciones es con base en si las tareas refieren a la medida de algún espacio métrico o distancia, comparación de áreas de figuras geométricas planas y análisis de perpendicularidad, respectivamente.

Marco teórico

Como parte de la delimitación teórica de esta investigación, se destacan diversas conceptualizaciones correspondientes al foco matemático y didáctico del estudio. En el primero, se presentan varias definiciones del teorema de Pitágoras. En el segundo, sobresale el análisis didáctico como marco general de la indagación. Se particulariza la categoría fenomenología o modos de uso del análisis de contenido, como componente del análisis didáctico. Estos se complementan con un abordaje de los planteamientos para el estudio del significado (o significados) de un concepto matemático.

Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras es conceptualizado de diferentes formas. A continuación, se muestran algunas de las definiciones presentes en diversas fuentes de información.

Perry (2000) plantea distintos enunciados del teorema, a partir de la consideración de 3 ópticas: áreas, medidas y números.

Por su parte, Barreto (2010) presenta 4 maneras para enunciar el teorema de Pitágoras, mostrando una extensión en la forma de interpretarlo.

Tomando como base la obra Los elementos de Euclides, Joyce (1996) define el teorema en términos de las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo: “en los triángulos rectángulos el área del cuadrado construido sobre el lado opuesto al ángulo recto es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados que comprenden el ángulo recto” (Traducción de los autores: “in right-angled triangles the square on the sides opposite the right angle equals the sum of the squares on the sides containing the right angle”) (párr. 1).

Otras definiciones o enunciados del teorema se han extraído de libros de texto elaborados para la educación secundaria en Costa Rica. Algunos de estos se describen a continuación.

“En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de sus catetos” (Jiménez, 2005, p. 125).

“En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos” (Grupo Nación, 2011, p. 78).

“En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto” (MEP, 2012, p. 345) (esto se establece como una transcripción de la proposición 47 del libro I de Los elementos de Euclides(.

El teorema se concibe como algo más que un enunciado que admite un valor de verdad y que, por tanto, se puede demostrar. Constituye un objeto matemático, el cual permite conectar múltiples áreas de la matemática contempladas en el currículo escolar. Para efectos de esta investigación, se entiende el enunciado del teorema de Pitágoras de la siguiente manera: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los otros 2 lados del triángulo (llamados catetos); considerando las diferentes áreas de la matemática en las que se puede definir o interpretar (Perry, 2000; Barreto, 2010).

Complementariamente, se adopta la propuesta de Perry (2000), en cuanto a que las diferentes formas de enunciar el teorema ponen de manifiesto las distintas temáticas con que este se relaciona. De tal manera, se pueden mostrar 2 conexiones del teorema: (a) con figuras geométricas planas, específicamente con triángulos, cuadriláteros, circunferencias y polígonos; y (b) con expresiones algebraicas, ya que, para implementarlo, interesa un dominio del concepto de variable, que se asigne una representación simbólico-algebraica a cada lado de un triángulo rectángulo, se resuelvan ecuaciones y se efectúen operaciones como la potenciación y la radicación, al igual que el manejo de las denominadas fórmulas notables.

Análisis didáctico

Desde un marco general, Castro (2015) apunta que el análisis didáctico se vincula al ámbito investigativo. Su planteamiento expresa que este análisis “se puede usar como metodología de investigación de orientación cuantitativa o cualitativa en una primera instancia, y como [fundamento para la] evaluación de la evaluación [de la actividad investigadora], en una segunda instancia” (p. 13). Esto considera que cada una de las fases del análisis didáctico se asocia a un proceso de análisis que posibilita orientar la parte metodológica en una investigación y, debido a su orden, estructura y característica cíclica, faculta recabar información, sintetizarla y evaluar la indagación.

El análisis didáctico constituye, entre otros aspectos, un organizador en el diseño de unidades didácticas, a través de los análisis parciales que lo componen (de contenido, cognitivo, de instrucción y de evaluación) y se presentan en forma cíclica e interrelacionada (Rico, 2003; Rico y Fernández-Cano, 2013; Rico y Moreno, 2016). Desde esta perspectiva, contribuye a fomentar competencias matemáticas en profesores y estudiantes (como objetivos a largo plazo(, por medio del desarrollo y la aplicación de las capacidades que se deben ver reflejadas en las tareas planificadas por los docentes.

Para esta investigación, se ha delimitado el campo de estudio a uno de los componentes del análisis didáctico: el análisis de contenido. Este presenta un esquema de 3 categorías para el examen de los significados de un concepto matemático; de estas, la fenomenología o modos de uso del concepto es la categoría que interesa.

Análisis de contenido matemático

El análisis de contenido organiza e identifica el significado de un concepto matemático, a partir del examen de su estructura conceptual, sus representaciones y su fenomenología (Rico, 2013). En particular, para este artículo se toma en cuenta únicamente el componente de fenomenología (los modos de uso), el cual considera que el significado de los conceptos matemáticos se muestra al presentar su conexión con la realidad, con los fenómenos.

La fenomenología refiere al estudio de los fenómenos, a la descripción de aquello que es notorio o aparece. En didáctica de la matemática, la fenomenología se concibe como una agrupación de fenómenos; esto difiere del análisis fenomenológico, que se entiende como la descripción de los fenómenos y su vínculo con el concepto en estudio (Segovia y Rico, 2001).

Siguiendo a Gómez (2007), la fenomenología es “un elemento constitutivo del significado de un concepto [que surge] de una visión funcional del currículo, en virtud de la cual los sentidos en los que se usa un término conceptual matemático también incluyen los fenómenos que sustentan el concepto” (p. 50). Desde la fenomenología, se destaca el otorgamiento de sentido práctico, al momento de establecer una relación entre una estructura matemática y los fenómenos que se asocian a esta (Gómez y Cañadas, 2011).

Particularmente, los fenómenos se conciben como “toda manifestación que se hace presente a la consciencia de un sujeto y aparece como objeto de su percepción” (Real Academia Española, 2019). En educación matemática, es común concebir los fenómenos como aquellas situaciones o problemas en los que se enmarca o se manifiesta el uso o la aplicación de un concepto matemático.

Para este estudio, se adopta la organización de los fenómenos, con base en 2 criterios: contextos y situaciones.

Contextos matemáticos. Generalmente, los contextos responden a la pregunta “¿para qué se utilizan estas nociones?, refieren al modo en que se usan los conceptos, en una o varias situaciones” (Rico, Marín, Lupiáñez, y Gómez, 2008, p. 12). La idea de contexto se emplea aquí para referir a un grupo de fenómenos que comparten características estructurales.

Situaciones. Una situación “viene dada por una referencia al medio (natural, cultural, científico y social) en el cual se sitúan tareas y cuestiones matemáticas que pueden encontrar los ciudadanos, que se proponen a los estudiantes y que centran su trabajo” (Rico, Lupiáñez, Marín y Gómez, 2007, p. 11).

En cuanto a la concepción de modo de uso, la RAE (2019) define uso como la acción de “hacer servir una cosa para algo”. Por su parte, el término modo, se presenta como el “procedimiento o conjunto de procedimientos para realizar una acción”; se entiende, además, como la “forma especial que puede adoptar un fenómeno”. Los modos de uso expresan, entonces, las maneras, formas o procedimientos en que un concepto matemático sirve o es útil para un determinado propósito; es decir, dan sentido al concepto. Así, se enlazan las nociones de modos de uso y fenomenología, consideradas en este trabajo.

Significado de un concepto matemático

Anteriormente, se ha referido al triángulo semántico de Frege (1998) como fundamento para el estudio del significado de un concepto. Sin embargo, se adopta la propuesta de Rico (1997), con el propósito de establecer el significado de un concepto matemático, mediante 3 organizadores del currículo: estructura conceptual, sistemas de representación y fenómenos (figura 1).

Comprender un concepto matemático es, por tanto, dotarlo de significado. Esto implica conocer su definición, la variedad de representaciones y los distintos modos para dar sentido al concepto ‘mostrar su utilidad en situaciones y contextos diversos’. Estos componentes del triángulo semántico corresponden a los elementos del análisis de contenido matemático (Rico, 2013).

En adición, el análisis de contenido permite reconocer y organizar el significado de un objeto matemático, al mismo tiempo que lleva a disponer de un referente para identificar los dominios del conocimiento matemático del profesor.

En este sentido, Rojas (2014) establece, mediante una serie de indicadores, un vínculo entre los dominios del conocimiento matemático y los componentes del análisis de contenido matemático. Sin embargo, estos indicadores se plantean a partir del concepto de fracción que, para el propósito de este estudio, fueron adaptados al teorema de Pitágoras. Los indicadores empleados por Castillo, Chaverri-Hernández, Hernández y Vallejos (2017), según los dominios del conocimiento del contenido matemático de Carrillo, Contreras y Flores (2013) para el análisis fenomenológico, se muestran en la tabla 1.

Marco metodológico

El estudio llevado a cabo se enmarca en las investigaciones en didáctica de la matemática; es una investigación cualitativo-descriptiva basada en el estudio de casos. Con su desarrollo, se describe el conocimiento matemático sobre el teorema de Pitágoras que expresan los profesores de matemáticas en formación, desde el examen de los fenómenos manifestados.

En Costa Rica, el trabajo es una iniciativa para la indagación sobre significados de conceptos matemáticos, en la línea de investigación sobre la formación de profesores.

Sujetos participantes

Debido a su disponibilidad, la muestra de profesores en formación inicial considerada fue intencional. Participaron 20 estudiantes seleccionados de las 4 universidades estatales del país que ofrecen la carrera Enseñanza de la Matemática: la Universidad de Costa Rica, la Universidad Nacional, el Instituto Tecnológico de Costa Rica y la Universidad Estatal a Distancia. Se seleccionaron 5 estudiantes de cada institución, tomando en cuenta, además de su disponibilidad, otros criterios de selección como: nivel académico, referencia y experiencia.

El nivel académico considera los cursos aprobados por los participantes. Luego de una revisión de los programas de estudio de las 4 universidades de procedencia, se determinó que los profesores debían estar, al menos, en el segundo año de carrera, ya que se requería tener aprobados los cursos sobre geometría euclídea que se imparten en los 3 primeros semestres de los planes de estudio. Este criterio se considera relevante, debido a que, generalmente, en dichos cursos se aborda el teorema de Pitágoras y su recíproco, desde un punto de vista formal (demostrativo); lo que supone una amplitud del conocimiento de los docentes en formación, respecto al objeto de interés de esta investigación.

En cuanto al criterio de referencia, destaca la recomendación del(de los) docente(s) formador(es) que imparte(n) los cursos de geometría euclídea en cada universidad. Se consideró una lista de al menos 10 estudiantes por universidad, para garantizar la participación de los 5 requeridos. Los profesores de las universidades tienen un mayor contacto con los estudiantes y pueden referirse a ellos como posibles participantes en la recolección de datos.

El criterio de experiencia remite a la selección de participantes, según el ejercicio de su práctica. Es decir, se seleccionaron docentes en formación sin desempeño profesional. Lo anterior, considerando que el conocimiento del profesor es directamente afectado por su práctica y esta es una variable ajena al interés de la investigación.

Instrumento de recolección de datos

La información tratada se recolectó mediante el diseño, la elaboración y la aplicación de un cuestionario de respuesta abierta. Este se efectuó a partir de una adaptación de otros instrumentos facilitados por investigadores del Grupo de Investigación Pensamiento Numérico, del Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada, sobre el estudio de significados de conceptos matemáticos. Los ajustes consideraron su delimitación al contexto educativo costarricense y al teorema de Pitágoras como objeto de la investigación.

El instrumento fue validado mediante su aplicación (una prueba piloto( a 7 estudiantes de la Universidad de Costa Rica. Dadas las respuestas de estos, se realizaron modificaciones, para garantizar la comprensión adecuada del enunciado de cada cuestión. Asimismo, el cuestionario se sometió a juicio de 2 expertos internacionales, quienes llevaron a cabo una revisión y emitieron recomendaciones en cuanto al propósito de los enunciados.

Los ítems del cuestionario se formularon con el fin de obtener información sobre la estructura conceptual, los sistemas de representación y aquellos aspectos relativos a la fenomenología que los participantes manifiestan sobre el Teorema de Pitágoras. Luego del proceso de validación y de la incorporación de modificaciones, los ítems correspondientes a la fenomenología fueron dos, enumerados en el cuestionario como ítem 6 e ítem 7. La información recabada a parir de estos dos ítems constituye el fundamento del análisis presentado en este trabajo. Los ítems son los siguientes.

Ítem 6. Plantee detalladamente al menos cuatro situaciones en las que es aplicable el Teorema de Pitágoras.

Con esta cuestión se pretendió identificar situaciones en las que los docentes en formación inicial consideraban útil y aplicable el teorema (solo debían mencionarlas).

Ítem 7. Enuncie dos problemas distintos cuya resolución implique el uso del Teorema de Pitágoras. Resuélvalos.

Este ítem pretendía evidenciar situaciones y contextos en los que los participantes aplican dicho teorema y la manera en que dan respuesta.

Organización de la información

La información recabada se organizó mediante categorías, subcategorías y unidades de análisis; construidas con base en el análisis de contenido matemático, indicadores del conocimiento matemático (Rojas, 2014), y las respuestas en los cuestionarios.

Para este estudio, la categoría corresponde a la componente fenomenología del análisis de contenido matemático. Las subcategorías responden a aspectos relacionados con esta categoría: tipos de situaciones, contextos para el cálculo matemático y calidad, esta última se construye como resultado de la investigación, es una subcategoría emergente. Las unidades de análisis refieren a los elementos específicos de cada subcategoría a partir de las respuestas obtenidas.

Categoría: Fenomenología.

Subcategoría: Tipos de situaciones. Comprende diferentes situaciones en las que es aplicable el Teorema de Pitágoras.

Matemático (SM). Comprende situaciones donde la solución es de un interés matemático únicamente.

Natural (SN). Establece situaciones que involucran fenómenos físico-naturales o elementos vinculados a la naturaleza.

Social (SS). Establece situaciones con objetos propios del hogar, la escuela o grupos sociales, así como actividades recreativas.

Científico-Técnica (SCT). Plantea situaciones vinculados a objetos de actividades científicas y técnicas.

Otras (OS). Menciona situaciones que no son clasificables en alguno de los criterios anteriores.

Subcategoría. Cálculo matemático. Comprende los contextos de las operaciones o propiedades aritméticas involucradas en las situaciones presentadas.

Contexto longitud (CL). Presenta situaciones que requieren la aplicación del Teorema de Pitágoras para el cálculo de longitudes únicamente.

Contexto área (CA). Plantea situaciones que requieren la aplicación del Teorema de Pitágoras para calcular longitudes necesarias para determinar áreas.

Contexto volumen (CV). Plantea situaciones que requieren la aplicación del Teorema de Pitágoras para calcular longitudes necesarias para determinar volúmenes.

Contexto trigonometría (CT). Plantea situaciones que requieren la aplicación del Teorema de Pitágoras para calcular longitudes necesarias para determinar el valor de razones trigonométricas o bien deducir identidades trigonométricas.

Contexto recíproco del teorema (RCM). Las situaciones propuestas requieren la aplicación del reciproco del Teorema de Pitágoras para determinar si tres longitudes corresponden a las medidas de los lados de un triángulo rectángulo.

Otros (O). Establece otros contextos que requieren el Teorema de Pitágoras en el cálculo matemático.

Calidad de la situación. Expresa situaciones con coherencia lógica matemática; por ejemplo, las medidas de los elementos presentes en la situación son posibles matemáticamente hablando. Estas situaciones están apegadas a la realidad y muestran un uso adecuado de términos.

Alta. Las situaciones planteadas poseen coherencia lógica matemática y están apegadas a la realidad

Media. Las situaciones planteadas poseen coherencia lógica matemática o están apegadas a la realidad.

Baja. Las situaciones planteadas no poseen coherencia lógica matemática ni están apegadas a la realidad.

Las situaciones matemáticas (exclusivas) se clasificaron con niveles Alta o Baja; otorgando alta cuando las situaciones se expresan con coherencia lógica matemática, y baja en el caso contrario, por ejemplo, cuando se omiten propiedades o características básicas de las figuras geométricas utilizadas.

Análisis y resultados

Primeramente, se destacan los datos vinculados a las situaciones y los contextos manifestados por los profesores de matemática en formación inicial participantes; es decir, la diversidad de usos que estos proponen para mostrar la aplicabilidad del Teorema de Pitágoras. Analizadas las respuestas de los ítems 6 y 7, se estableció una evaluación de la calidad de las situaciones, a partir de la coherencia lógica matemática y su vínculo con la realidad.

Situaciones

Para el análisis llevado a cabo sobre los usos del teorema se consideraron cinco situaciones y seis contextos. Los resultados sobre las situaciones se muestran en la tabla 2.

Como se aprecia, la mayoría de las situaciones mostradas en las respuestas a los ítems 6 y 7 son de carácter matemático, lo que se interpreta como una carencia de propuestas vinculadas a situaciones distintas a las matemáticas, es decir aquellas que se apeguen a la cotidianidad. Se destaca que, cuando los profesores deben plantear y resolver tareas que utilicen el Teorema de Pitágoras, la diversidad de las situaciones disminuye: las respuestas para el ítem 7 excluyen las situaciones naturales o las de otro tipo.

Particularmente, en lo que sigue se destaca la diversidad de situaciones mostradas en las producciones de los profesores para el ítem 7, debido a que en este ítem se requería la aplicación del Teorema de Pitágoras.

Situaciones Matemáticas

Los problemas (tareas) correspondientes a situaciones matemáticas respondieron en su mayoría a una caracterización de figuras geométricas; por ejemplo, el establecimiento de las longitudes de segmentos y el cálculo de perímetros, áreas o volúmenes. La mayoría se vinculan a figuras planas y en menor medida a sólidos geométricos. Un ejemplo de una situación matemática se muestra en la figura 2.

Aquí se acentúa el empleo del Teorema de Pitágoras para determinar la longitud de un segmento (altura) en una figura plana (triángulo equilátero). Además, se reconoce como un caso poco convencional pues se debe averiguar la medida de un cateto en vez de la medida de la hipotenusa.

Situaciones Sociales

Dentro de las situaciones sociales identificadas se encontraron fenómenos referentes al cálculo de la longitud de objetos como cables y cuerdas; ejemplificado con piscinas o teleféricos (ver figura 3). No obstante, la situación en la que se presenta la tarea carece de sentido, ya que no se identifica el propósito de colocar una cuerda en diagonal; es decir, no hay un problema o una intensión real explícita referida a su ubicación (de la cuerda(. Otros aportes refieren al cálculo del desplazamiento (recorrido) de una persona o un automóvil.

Situaciones científico-técnicas

Estas situaciones se identificaron en fenómenos que destacaban la longitud de objetos a partir de mediciones técnicas, como el largo de escaleras apoyadas sobre muros o edificios, la altura de un faro, la cantidad de gradas (o escalones) que caben en un espacio, la distancia entre dos objetos y la medida del lado o la diagonal de un terreno, o el perímetro de terrenos con formas geométricas. Un ejemplo se muestra en la figura 4.

Contextos

Los contextos identificados en las situaciones se clasificaron como respuesta a la pregunta ¿para qué se utiliza el teorema de Pitágoras? (Rico et al, 2008). Dentro de estos contextos destacan el cálculo de la longitud y el área en figuras geométricas planas, así como el cálculo del volumen en sólidos geométricos. La tabla 3 presenta los datos sobre los contextos identificados en las respuestas a los ítems 6 y 7.

De acuerdo con estos resultados, los docentes participantes consideran una mayor cantidad de contextos cuando plantean una tarea (ítem 6) (al igual que para las situaciones( que cuando se requiere de un enunciado y su solución (ítem 7); es decir, esta diversidad de contextos se reconoce cuando solo deben mencionar los modos de uso del teorema.

Al igual que para las situaciones, en lo que sigue se destacan las especificidades de los contextos reconocidos en el ítem 7.

Contexto longitud

Dentro de este contexto se busca determinar diferentes longitudes asociadas, principalmente, a figuras planas: el perímetro de polígonos regulares e irregulares, las diagonales de cuadrados y rectángulos, los lados de un triángulo.

También se destaca el cálculo de longitudes en figuras tridimensionales: la diagonal de un cubo, la arista de una pirámide, la altura y generatriz de un cono y la distancia del centro de una esfera a su superficie. Además, se evidencian fenómenos que presentan el cálculo de distancias entre dos puntos en el plano cartesiano (dos dimensiones) y la distancia mínima entre un punto y un segmento (figura 5).

Contexto área

En este contexto se contemplan fenómenos sobre el cálculo de áreas de figuras planas como polígonos regulares e irregulares (mayormente para triángulos( y en figuras tridimensionales, específicamente para el área lateral de un cono (ver figuras 6 y 7).

Los contextos área y volumen incluyen pocos fenómenos; para el contexto de volumen solo se refiere a su cálculo particularizado a una caja de base cuadrada, que se modeló con un cubo sin indicar la medida de su diagonal. La figura 8 presenta este caso.

Fenómenos en cada contexto y situación

A partir de las respuestas de los participantes al ítem 7, se presentan los fenómenos identificados que vinculan contextos y situaciones, en los que se requiere la aplicación del Teorema de Pitágoras (tabla 4).

Se observa que las situaciones matemáticas se encuentran distribuidas en una mayor cantidad de contextos, de los cuales destaca el contexto longitud. Además, puede apreciarse que las situaciones de tipo social y científico-técnicas abarcan únicamente el contexto longitud, donde refieren principalmente al cálculo de la medida de los lados de un triángulo rectángulo, un rectángulo o un cuadrado.

Por otra parte, a partir del análisis del ítem 6, los participantes mencionan algunas tareas en las que puede ser aplicable el Teorema de Pitágoras; esto complementa la información de la tabla anterior. La tabla 5 presenta los fenómenos identificados en cada contexto según el tipo de situación.

En la tabla 5 se muestran situaciones y contextos identificados en el ítem 6, que no se contemplaron como parte de la resolución del ítem 7, como lo son las situaciones naturales que abordan el cálculo de longitudes y los contextos de trigonometría, el recíproco del teorema y otros, donde el uso del teorema difiere del empleado en los demás contextos porque se requiere de deducciones y verificaciones; es decir, en estos no se reduce el teorema únicamente al cálculo de una medida.

En síntesis, a partir de una combinación de las producciones de los informantes a los ítems 6 y 7 se obtienen los resultados que se presentan en la tabla 6.

Como se aprecia, los fenómenos identificados se vinculan a situaciones matemáticas en todos los contextos, con la particularidad de que el contexto de longitud es el único presente en todas las situaciones.

Calidad de la situación

Para analizar la calidad de las situaciones se definieron tres unidades o niveles de calidad: alta, media y baja; estos se determinaron de acuerdo a la coherencia lógica-matemática y el vínculo de la situación con la realidad. Dado que las situaciones matemáticas no contemplan el apego a la realidad, se decidió analizar la presencia o ausencia de coherencia lógica matemática en estas situaciones, de esta forma se establecieron solo dos niveles de calidad: alta y baja. La tabla 7 expone la calidad de las situaciones del ítem 7.

Cabe indicar que una de las situaciones no fue considerada para el análisis de la calidad de la situación, debido a que carecía de enunciado.

Entre los aspectos utilizados para atribuir una baja calidad a las situaciones matemáticas se encuentra la utilización del término distancia para hallar la medida de un lado de un triángulo; con este, por ejemplo, se identificaron enunciados como: “¿cuál es la distancia de la hipotenusa?”. También “en algunos casos” se solicitaba el área lateral de un cono o su altura, sin especificar si este correspondía a un cono circular recto. Un ejemplo de esto se muestra con la figura 9, en la cual tampoco se establece que el triángulo es rectángulo.

En cuanto a las situaciones sociales y científico-técnicas, que se clasificaron de calidad media, destaca la falta de claridad en su contextualización. Por ejemplo, la figura 10 muestra una situación en la que se combinan elementos de la realidad (muros) con elementos matemáticos (círculos); las demás muestran inconsistencias en la redacción del enunciado y en las dimensiones asignadas a los elementos involucrados de la vida real, como considerar un edificio con una altura de 3 metros.

Por otro lado, la calidad baja de estas situaciones fue atribuida a la existencia de ambigüedades en la redacción de los enunciados; por ejemplo, en el enunciado mostrado en la figura 11 se utiliza el término “distancia” para referirse al “desplazamiento” de un automóvil, además los datos o la información suministrada no coincide con el diagrama o el dibujo brindado.

Los resultados que se han destacado sustentan las afirmaciones que se muestran en el apartado de conclusiones. Con estas se caracteriza la manera en que este grupo de profesores de matemática en formación inicial tratan el uso del Teorema de Pitágoras a través del estudio de los fenómenos, las situaciones y contextos manifestados.

Conclusiones

El estudio permite concluir que los profesores en formación participantes muestran modos de uso diversos, desde su organización como contextos y situaciones, a la hora de plantear tareas, en cuya resolución es aplicable el Teorema de Pitágoras. Particularmente esta diversidad de usos se da cuando el planteamiento no incluye la resolución de la tarea o un mayor detalle de estas; es decir, el enunciado de tareas, por parte de esta población, se aborda desde la contextualización de la tarea, que en la actualidad es promovida para la enseñanza de las matemáticas en la Educación General Básica en Costa Rica (Educación Primaria completa, tres primeros años de la Educación Secundaria). En este sentido se reconoce una clarificación del entorno en el enunciado de las tareas que le otorga un grado de importancia en el proceso de planificación de estas. Cabe señalar que el planteo de problemas o tareas son fundamentales para la asimilación o aprendizaje significativo de un contenido; incluso, la formulación de un problema puede ser más importante que su resolución (Einstein e Infeld, 1986).

En este caso específico, la mayoría de las tareas mostradas se enmarcan en situaciones matemáticas (desvinculadas de otro tipo de situaciones de tipo cotidiano) y corresponden al contexto para el cálculo de longitudes, donde el uso del teorema se orienta principalmente al cálculo de longitudes en figuras en el plano. Contrariamente a los planteado Barreto (2010), Peñafiel y Yun (2008), Fernández (2015) y Perry (2000) quienes proponen el estudio del Teorema de Pitágoras a partir de áreas, para facilitar su aprendizaje.

El contexto de cálculo de longitudes fue el segundo con mayor presencia en las respuestas de los profesores en formación inicial (ver tabla 3), a pesar de que su frecuencia es “muy baja” en las respuestas para los dos ítems. Esta particularidad coincide con los planteamientos de Marín (2011) y Guardia et al. (2009), que destacan la tendencia de asociar la aplicabilidad del Teorema de Pitágoras en contextos referentes al cálculo de longitudes (en primera instancia) y áreas.

Los resultados del estudio aportan a la tesis de Dalcín (2007), quien establece que el recíproco del Teorema de Pitágoras es generalmente olvidado por los estudiantes una vez que han concluido sus estudios en educación secundaria. Las evidencias mostradas destacan la poca frecuencia con que se utiliza este recíproco, como contexto para la resolución de determinadas situaciones o problemas.

En cuanto a la calidad de las situaciones, estas muestran un nivel alto cuando las situaciones consideradas por los participantes fueron matemáticas, en estos casos las medidas de los elementos involucrados son posibles y el uso del lenguaje o términos es adecuado; es decir, en estas se muestra una coherencia lógica matemática. Cuando las situaciones corresponden a otros tipos (es decir, no corresponden a la categoría matemáticas( su calidad se encuentra entre los niveles medio o bajo, debido a que poseen deficiencias en los elementos que caracterizan la coherencia lógica matemática descrita.

Cuando las situaciones tratadas son matemáticas los profesores participantes involucran todos los tipos de contextos definidos para el estudio (longitud, área, volumen, trigonometría, recíproco del teorema, otro). Esta particularidad no se reconoce con las demás situaciones, a pesar de que las aplicaciones del teorema son innumerables en situaciones cotidianas (Marín, 2011). Esto, junto al hecho de que algunas de estas situaciones no se apegan a la realidad o bien se presentan haciendo un uso incorrecto de conceptos matemáticos, puede evidenciar la presencia de dificultades cuando se plantean tareas en situaciones no matemáticas que involucren el Teorema de Pitágoras.

Las evidencias del estudio conducen a considerar el análisis de contenido como una herramienta poderosa para el estudio de la planificación escolar, puesto que permite el fomento de capacidades para organizar y priorizar significados de un concepto matemático (Rico et al, 2007), acentuando, en este caso, su uso y aplicabilidad. Si solo se ejercita al estudiante en la resolución de operaciones rutinarias particularmente, sin establecer conexiones entre conceptos y su aplicabilidad se acabará su interés y esto impedirá su desarrollo intelectual, por lo que se debe seleccionar cuáles y cómo se abordan ciertos contenidos en el aula (Polya, 1989). Los docentes deben contar con conocimientos variados para guiar a sus estudiantes durante el proceso de aprendizaje (Vargas y Gamboa, 2013b). Esta variedad de sapiencia puede constituirse, particularmente, a partir de la implementación del análisis de contenido para el estudio de un concepto matemático.

El abordaje del Teorema de Pitágoras, como contenido escolar, debe enfatizar su aplicabilidad “real” en distintas y diversas situaciones de la cotidianeidad, de manera que se consideren una mayor variedad de contextos y se explicite la riqueza conceptual que engloba este teorema en las matemáticas escolares.

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