Instructional Process of the Derivative Applied in Business Engineering Students in Chile

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doi:10.15359/ru.38-1.17

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Artículo • Uniciencia 38 (1) • Jan-Dec 2024 • https://doi.org/10.15359/ru.38-1.17 linkcopy

Instructional Process of the Derivative Applied in Business Engineering Students in Chile

Authorship SCIMAGO INSTITUTIONS RANKINGS

Abstract

(Objective) The objective of this article is to present the results of the implementation of an instructional design for the teaching of the derivative for undergraduate students of Business Engineering in Chile.

(Methodology) The participants in the study were ninety students of Applied Business Calculus at a Chilean university. The methodological design, based on the tools of the Ontosemiotic Approach to Mathematical Cognition and Instruction, consider various epistemic configurations in situations-problems concerning tangents, the calculation of derivatives from the rules for derivation, applications of the derivative for the calculation of maxima and minima, and analysis of graphs of functions. In addition, it integrates ICT into various activities.

(Results) The results indicate that the instructional proposal for teaching the derivative overcomes some of students’ learning difficulties, as shown in various research studies. In particular, these include the difficulties that Business Engineering students have with the Euclidean conception of the tangent line, the interpretation of the derivative function and its geometric representation, the optimization of economic functions, and the application of the derivative to marginal functions.

(Conclusions) It is concluded that the teaching and learning process is effective, in the sense that student learning for a specific engineering career is achieved by instruction that incorporates different interconnected epistemic configurations of the derivative, its different fields of problems, and contextual applications in their profession, together with the use of ICT resources.

Keywords: Mathematics education; derivative; instructional process; ICT; Ontosemiotic Approach; engineering education; business engineering

Sesión presencial (SP)	Campo de problemas (CP)	Acción didáctica	Objetivo de la acción didáctica	Lenguajes	Configuraciones
1-2	CP1	Tarea SP1	Obtener la pendiente de la recta tangente mediante aproximaciones por la pendiente de rectas secantes.	Tabular	Manipulativas
				Geométrico	Computacional
				Gráfico
				Descriptivo
3-4	CP1	Tarea SP2	Identificación de la recta tangente a una curva.	Geométrico	Manipulativas
				Gráfico	Computacional
				Descriptivo
5-6	CP1	Tarea SP3	Interpretación geométrica de la derivada en un punto particular (se utiliza una aproximación intuitiva a la noción de límite).	Simbólico	Computacional
				Gráfica	Algebraica
7	CP1	Tarea SP4	Articulación de la derivada de una función en un punto y de la función “derivada” (consolidar utilizando la noción de derivada como límite de tasas medias de variación de la función).	Tabular	Computacionales
				Gráfica	Algebraica
				Simbólico
				Descriptivo
8	CP1	Tarea SP5	Aplicación de la función “derivada” (utilizando la definición de límite).	Simbólico	Computacionales
9	CP2	Tarea SP6	Definición del álgebra de las derivadas: Si f y g funciones reales no nulas y c ∈ ℝ - {0}, entonces:	Simbólico	Algebraica
			a) (𝑓 ± g)’ = (𝑓)’ ± (g)’
			b) (c · 𝑓)’ = c ∙ (𝑓)’
			c) (𝑓 ∙ g)’ = 𝑓’ ∙ g + 𝑓 ∙ g’
			d) (f/g)'= (f∙g-f∙g')/(g)²
10	CP2	Tarea SP7	Derivadas de las funciones:	Simbólico	Computacional
			• 𝑓(x) = x^-n , ∀n ∈ R,	Gráfico	Algebraica
			xⁿ y xⁿ bien definida
			• 𝑓(x) = e^x , ∀x ∈ R,
			• 𝑓(x) = ln(x), ∀x > 0
			(se mencionan en el programa como reglas de derivadas). Aplicación del álgebra de derivadas para calcular la derivada de otras funciones construidas mediante operaciones aritméticas entre la función “exponencial natural”, “logaritmo natural” y “polinomios”.
11	CP2	Tarea SP8	Derivada de una función “compuesta” (regla de la cadena). Aplicación al cálculo de derivadas de otras funciones compuestas por funciones polinómicas, exponenciales y logarítmicas.	Simbólico	Computacional
				Gráfico	Algebraica
12	CP2	Tarea SP9	Aplicación de las reglas de derivación y álgebra de las derivadas para el cálculo de costos marginales e ingresos marginales.	Simbólico	Algebraica
13	CP3	Tarea SP10	Articulación de la interpretación geométrica de la derivada y el criterio de la primera derivada para extremos relativos.	Gráfico	Computacional
				Simbólico
14	CP3	Tarea SP11	Aplicación del criterio de la primera derivada a problemas clásicos de optimización de funciones reales y económicas.	Gráfico	Algebraica
				Simbólico
15	CP3	Tarea SP12	Aplicación de la primera derivada al análisis de la monotonía de funciones reales y económicas, orientada al trazado de curvas.	Simbólico	Computacional
				Gráfico	Algebraica
16	CP3	Tarea SP13	Aplicación del criterio de la segunda derivada a problemas clásicos de optimización de funciones reales y funciones económicas	Gráfico	Algebraica
				Simbólico
17	CP3	Tarea SP14	Aplicación de la segunda derivada al análisis de la concavidad (hacia arriba y hacia abajo) de funciones reales y económicas, orientada al trazado de curvas.	Geométrico	Computacional
				Gráfico
18	CP3	Tarea SP15	Aplicación de la derivada a la optimización del costo en la construcción de una caja sin tapa.	Descriptivo	Manipulativa
19	CP3	Tarea SP16	Modelamiento de la función “costo” para la construcción de una caja sin tapa.	Geométrico	Algebraica
				Simbólico
20	CP3	Tarea SP17	Aplicación de la derivada a la optimización del costo en la construcción de una caja sin tapa.	Simbólico	Computacional
					Algebraica
1	CP1	Tarea TA1	Estudio del manuscrito teórico-práctico del curso, que considera la construcción de la ecuación de una recta tangente a una curva. Aplicación de la recta tangente a problemas económicos.	Simbólico	Computacional
				Gráfica	Algebraica
2	CP1	Tarea TA2	Aplicación de la interpretación geométrica de la derivada.	Tabular	Computacionales
				Gráfica	Algebraica
				Simbólico
				Descriptivo
3	CP2	Tarea TA3	Estudio del manuscrito teóricopráctico del curso, que considera el cálculo de derivadas utilizando el álgebra de derivadas.	Simbólico	Computacional
					Algebraica
4	CP2	Tarea TA4	Estudio del manuscrito teóricopráctico del curso, que considera el uso de las reglas de derivadas para el cálculo de funciones marginales.	Simbólico	Computacional
					Algebraica
5	CP3	Tarea TA5	Estudio del manuscrito teóricopráctico del curso, que considera la aplicación del criterio de la primera y segunda derivada a problemas clásicos de optimización de funciones reales y económicas.	Simbólico	Computacional
				Gráfico	Algebraica
6	CP3	Tarea TA6	Estudio del manuscrito teóricopráctico del curso, que considera la aplicación de la primera derivada para el análisis de la monotonía de funciones reales y económicas.	Simbólico	Computacional
				Gráfico	Algebraica
7	CP3	Tarea TA7	Estudio del manuscrito teóricopráctico del curso, que considera la aplicación de la segunda derivada para la optimización de funciones reales y económicas.	Simbólico	Computacional
				Gráfica	Algebraica
8	CP3	Tarea TA8	Estudio del manuscrito teóricopráctico del curso, que considera la aplicación de los criterios de primera y segunda derivada para la optimización de funciones económicas.	Simbólico	Computacional
				Gráfica	Algebraica

Acciones para los problemas sobre tangentes (CP1)	Objetos primarios	Frecuencia absoluta	Frecuencia relativa(%)
Justifica correctamente el vínculo entre la función “ingreso marginal” y la función “ingreso” para el cálculo de rectas tangentes.	Argumento	84	93
Relaciona correctamente la pendiente de la recta tangente a la curva con la derivada de la función en el punto de tangencia.	Definición	84	93
Identifica las pendientes de las rectas tangentes a la función “ingreso”.	Representación	70	78
Utiliza correctamente la fórmula de la ecuación de la recta punto-pendiente.	Procedimiento	65	72
Justifica correctamente el vínculo entre la función “ingreso marginal” y la función “ingreso” para el análisis de la monotonía de la función “ingreso”.	Argumento	38	42

Acciones para los problemas sobre cálculo de derivadas a partir de reglas y teoremas de derivación (CP2)	Objetos primarios	Frecuencia absoluta	Frecuencia relativa(%)
Indica correctamente el álgebra de las derivadas utilizadas para el cálculo de las funciones marginales.	Proposiciones	87	97
Aplica correctamente el álgebra de las derivadas en el cálculo de funciones marginales.	Procedimiento	85	94
Indica las reglas de derivación utilizadas para el cálculo de las funciones marginales.	Proposiciones	80	89
Aplica correctamente las reglas de derivación en el cálculo de funciones marginales.	Procedimiento	70	78
Evalúa el costo marginal en q = 10, para tomar una decisión en torno a la unidad número 11.	Procedimiento	40	44
Evalúa el ingreso marginal en q = 10, para tomar una decisión en torno a la unidad número 11.	Procedimiento	40	44
Justifica correctamente que es conveniente producir la unidad número 11.	Argumento	40	44

Acciones para los problemas sobre aplicacion la derivada para el cálculo de máximos y mínimos y análisis de gráficas de funciones (CP3)	Objetos primarios	Frecuencia Absoluta	Frecuencia relativa
Modela correctamente la función “utilidad”.	Definición	88	98
Determina la derivada de la función “utilidad”, utilizando correctamente las reglas y álgebra de las derivadas.	Proposiciones	88	98
Determina correctamente los valores de q en el dominio, tal que U’ (q) = 0.	Procedimiento	70	78
Determina correctamente los valores de q en el dominio, tal que U’ (q) > 0.	Procedimiento	68	76
Determina correctamente los valores de q en el dominio, tal que U’ (q) < 0.	Procedimiento	68	76
Relaciona correctamente U’ (q) > 0 con el crecimi de la función “utilidad”.ento	Proposiciones	63	70
Relaciona correctamenteU’ (q) > 0 con el decrecimiento de la función “utilidad”.	Proposiciones	63	70
Relaciona los valores de q tales que U’ (q) = 0 con posibles extremos de la función “utilidad”. los	Proposiciones	50	56
Aplica correctamente el criterio de la primera derivada para determinar el nivel de producción en el que se alcanza la utilidad máxima.	Proposiciones	48	53
Determina justificando correctamente la utilidad máxima.	Argumento	48	53
El bosquejo realizado describe correctamente la monotonía y extremos de la función “utilidad”.	Procedimiento	35	39

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[TFN1] Nota: adaptación de et al).

Semana	CP	Sesiones Presenciales(SP)	Tiempo SP	Sesiones de trabajo autónomo (TA)	Tiempo TA
1	1	1-4	320 minutos	1	120 minutos
2	1	5-8	320 minutos	2	120 minutos
3	2	9-12	320 minutos	3	120 minutos
4	3	13-16	320 minutos	4	120 minutos
5	3	17-20	320 minutos	4	120 minutos